| Componente Curricular |
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| MATB41 - ÁLGEBRA LINEAR II-B |
| Carga Horária - Total: 60 horas | | |
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| Teórica | Prática | Estágio | Departamento | Semestre Vigente |
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| 60 | 0 | 0 | Matemática | 2023.1 |
| Ementa |
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| Espaços vetoriais de dimensão infinita. Operador linear. Subespaços invariantes. Autovalor e autovetor. Polinômio mínimo e característico. Decomposição primária. Diagonalização. Forma de Jordan. Normas. Espaços com produto interno. Ortogonalidade. Teorema de Riesz. Operador adjunto. Operadores normais e subclasses. O Teorema Espectral. Aplicações bilineares. Formas quadráticas e aplicação do Teorema Espectral. Utilização de recursos computacionais. |
| Programa |
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| Objetivo |
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| Desenvolver a capacidade de compreensão e utilização hipotético-dedutiva de estruturas e objetos definidos por um conjunto de axiomas, e em particular, desenvolver a capacidade de compreensãoda estrutura dos espaços vetoriais de dimensão finita e dos operadores lineares. |
| Conteúdo |
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| 1. Exemplos de espaços vetoriais sobre corpos finitos, raciuonais e extensões algébricas. 2. Espaços vetoriais de dimensão infinita. 2.1. Polinômios. 2.2. Pseudo-polinômios. 2.2.1. Polinômios trigonométricos. 2.2.2. Polinômios exponenciais. 2.3. Funções contínuas. 3. Operador Linear. 3.1. Definição e exemplos. 3.2. Representação matricial. 3.3. Polinômio mínimo. 3.4. Existência, unicidade e Cálculo do polinômio mínimo. 3.5. Autovalor e autovetor. 3.6. Polinômio característico. 3.7. Subespaços invariantes. 3.8. Teorema da decomposição primária. 3.8.1. Operadores diagonalizáveis. 3.8.2. Forma canônica de Jordan. 3.8.3. Decomposição em blocos de Jordan para operadores de espaços vetoriais sobre os reais. 4. Espaços vetoriais normados. 4.1. Norma. 4.1.1. Desigualdades fundamentais. 4.2. Produto interno. 4.2.1. Propriedades básicas e exemplos. 4.2.2. Identidade do paralelogramo. 4.2.3. Norma de operadores lineares. 4.2.4. Ortogonalidade. 4.2.5. Processo de ortogonalização. 4.2.6. Complemento ortogonal. 4.2.7. Projeções ortogonais. 4.2.8. O método da aproximação por mínimos quadrados. 4.3. Funcionais lineares e o Teorema de representação de Riesz. 5. Operadores especiais. 5.1. Operador Adjunto. 5.2. Operador Normal. 5.2.1. Operador autoadjunto, operador anti-adjunto e oerador unitário. 5.3. Propriedades básicas dos autovalores e autovetores dos operadores especiais. 5.4. Teorema espectral. 5.4.1. Teorema espectral para operadores normais em espaços vetoriais sobre complexos. 5.4.2. Teorema espectral para operadores autoadjuntos em espaços vetoriais sobre os reais. 5.4.3. Forma canônica dos operadores normais em espaços vetoriais sobre os reais. 6. Aplicações bilineares. 6.1. Definição, classificação e exemplos. 6.2. Formas quadráticas. 6.3. Cônicas. 6.4. Redução de uma forma quadrática à sua forma padrâo por meio da utilização do teorema espectral. |
| Bibliografia |
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| LIMA, Elon Lages. Álgebra Linear. Coleção Projeto Euclides, IMPA. /////// HOWARD, Anton,;RORRES, Cris. Álgebra Linear e Aplicações.Tradução Claus I.Doering, Editora Bookman, 2002. ////// HOFFMAN, K.;KUNZE, R. Álgebra Linear. Editora Polígono. /////// LAWSON, Terry. Álgebra Linear. Tradução Elza F. Gomide. Editora Edgard Blucher Ltda. /////// NOBLE, Ben & Daniel, J.W.. Applied linear algebra. Ed. Prentice Hall, 1988. /////// Softwares matemáticos: Maple, Winmat e outros. |